W dziedzinie kombinatoryki często spotykamy się z zadaniami wymagającymi obliczenia liczby możliwych konfiguracji cyfr w liczbach naturalnych. Niniejsza artykuł skupia się na konkretnym problemie: obliczeniu, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie trzy cyfry 1 i dokładnie dwie cyfry 2.
Rozwiązanie problemu kombinatorycznego
Aby rozwiązać to zadanie, należy uwzględnić specyfikę tworzenia liczb siedmiocyfrowych, zwłaszcza fakt, że pierwsza cyfra nie może być zerem. Problem zostanie rozłożony na trzy przypadki, w zależności od tego, jaka cyfra znajduje się na pierwszym miejscu.
Przypadek 1: Pierwsza cyfra nie jest ani 1, ani 2
Załóżmy, że pierwsza cyfra (najbardziej znacząca) nie jest jedynką ani dwójką. Oznacza to, że pierwsza cyfra musi pochodzić ze zbioru {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, co daje nam 7 możliwych wyborów.
- Miejsca dla trzech jedynek spośród pozostałych 6 miejsc można wybrać na
C(6, 3) sposobów. - Miejsca dla dwóch dwójek spośród pozostałych 3 miejsc można wybrać na
C(3, 2) sposobów. - Pierwszą cyfrę wybieramy na 7 sposobów (cyfry od 3 do 9).
- Na pozostałych dwóch miejscach, które nie są zajęte przez 1 lub 2, umieszczamy cyfry z dostępnego zbioru {0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Każde z tych dwóch miejsc daje nam 8 możliwości (wszystkie cyfry oprócz 1 i 2).
Liczba możliwości w tym przypadku wynosi:
Przypadek 2: Pierwszą cyfrą jest 1
Jeśli pierwszą cyfrą tworzonej liczby jest jedynka, to pozostają nam dwie jedynki do umieszczenia oraz dwie dwójki.
- Miejsca dla pozostałych dwóch jedynek spośród 6 dostępnych miejsc (od drugiej do siódmej) można wybrać na
C(6, 2) sposobów. - Miejsca dla dwóch dwójek spośród pozostałych 4 miejsc można wybrać na
C(4, 2) sposobów. - Na pozostałych trzech miejscach (które nie są zajęte przez 1 lub 2) umieszczamy cyfry z dostępnego zbioru {0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Każde z tych trzech miejsc daje nam 8 możliwości.
Liczba możliwości w tym przypadku wynosi:
Jak korzystać z permutacji i kombinacji
Przypadek 3: Pierwszą cyfrą jest 2
Jeżeli na pierwszym miejscu umieścimy dwójkę, to pozostaje nam jedna dwójka do umieszczenia oraz trzy jedynki.
- Miejsce dla drugiej dwójki spośród 6 dostępnych miejsc (od drugiej do siódmej) można wybrać na
C(6, 1) sposobów. - Miejsca dla trzech jedynek spośród pozostałych 5 miejsc można wybrać na
C(5, 3) sposobów. - Na pozostałych trzech miejscach (które nie są zajęte przez 1 lub 2) umieszczamy cyfry z dostępnego zbioru {0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Każde z tych trzech miejsc daje nam 8 możliwości.
Liczba możliwości w tym przypadku wynosi:
Suma wszystkich przypadków
Sumując wyniki z wszystkich trzech przypadków, otrzymujemy łączną liczbę siedmiocyfrowych liczb naturalnych spełniających warunki zadania:
Podsumowanie
Istnieje 122880 siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie trzy cyfry 1 i dokładnie dwie cyfry 2. Rozwiązanie to wymagało starannego rozważenia pozycji cyfr, w szczególności pierwszej, oraz zastosowania kombinatoryki do wyboru miejsc dla określonych cyfr i obliczenia dostępnych opcji dla pozostałych cyfr.
tags: #ile #jest #liczb #naturalnych #siedmiocyfrowych #siewnik